Question

定義在R上的函數(shù)f（x）=

log 1 2 |x-2|   ，  x≠2 1，      x=2

，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個不同的實數(shù)解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：畫出f（x）的圖象，由圖象可知，令f（x）=t，則t²+bt+c=0有兩個不等的實數(shù)根，且其中一個為1，由于y=log

1

2

|x-2|的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且其中一個解為2，即有x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，再由對數(shù)的運算性質(zhì)即可得到答案．

解答： 解：畫出f（x）的圖象，
由于關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個不同的實數(shù)解，令f（x）=t，則t²+bt+c=0有兩個不等的實數(shù)根，
且其中一個為1，
畫出直線y=m（m≠1），y=1，
得到5個交點，其橫坐標為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
設(shè)x₃=2，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
由于y=log

1

2

|x-2|的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
則x₁+x₅=x₂+x₄=4，
即有x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，
則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（10）=log

1

2

|10-2|=log

1

2

8=-3．
故答案為：-3．

點評：本題考查分段函數(shù)及運用，考查函數(shù)的對稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時考查對數(shù)的運算，屬于中檔題．