Question

17．已知二項(xiàng)式（${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列．
（1）求展開式的第三項(xiàng)；
（2）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)
（3）求二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和以及其所有項(xiàng)的系數(shù)和．

Answer 1

分析 （1）由條件求得n=8，利用通項(xiàng)公式可得展開式的第三項(xiàng)．
（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（3）根據(jù)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ 得出結(jié)論，令x=1，可得其所有項(xiàng)的系數(shù)和．

解答 解：（1）二項(xiàng)式（${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列，
可得2${C}_{n}^{1}$•$\frac{1}{2}$=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{4}$，求得n=1（舍去），或 n=8，
故展開式的第三項(xiàng)為T₃=${C}_{8}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•${x}^{\frac{4}{3}}$=7${x}^{\frac{4}{3}}$．
（2）第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 T_r+1=${C}_{8}^{r}$，故第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)，r=4．
（3）二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2⁸=256，令x=1，可得其所有項(xiàng)的系數(shù)和${（\frac{1}{2}）}^{8}$=$\frac{1}{256}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．