Question

拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=120°．過弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為（ ）
A．
B．1
C．
D．2

Answer 1

【答案】分析：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．
解答：解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（） 2，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-（a+b）²=（a+b）²
得到|AB|≥（a+b）．
所以≤=，即的最大值為．
故選：A
點(diǎn)評(píng)：本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求的最大值，著重考查拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．