Question

已知拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0），A是拋物線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A到點(diǎn)B（0，2）的距離與點(diǎn)A到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值為

17

2

．
（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P、Q是拋物線(xiàn)C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足OP⊥OQ，求證：直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(

p

2

，0)，當(dāng)BF與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)B（0，2）的距離與點(diǎn)A到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和取得最小值為

17

2

．利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．
（2）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為：my=x+n（m≠0），P(

y 2 1

2

，y1)，Q(

y 2 2

2

，y2)．利用

OP

⊥

OQ

，可得

OP

•

OQ

=0，y₁y₂=-4．聯(lián)立

my=x+n y2=2x

，可得y₁y₂=2n，即可得出．

解答： （1）解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(

p

2

，0)，
∵當(dāng)BF與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)A到點(diǎn)B（0，2）的距離與點(diǎn)A到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和取得最小值為

17

2

．
∴

p2 4 +22

=

17

2

，解得p=1．
∴拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2x．
（2）證明：設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為：my=x+n（m≠0），P(

y 2 1

2

，y1)，Q(

y 2 2

2

，y2)．
∵

OP

⊥

OQ

，
∴

OP

•

OQ

=

(y1y2)2

4

+y1y2=0，（y₁y₂≠0）．
化為y₁y₂=-4．
聯(lián)立

my=x+n y2=2x

，
化為y²-2my+2n=0，
∴y₁y₂=2n，
∴2n=-4，
解得n=-2．
∴直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．