Question

14．若函數(shù)f（x）同時(shí)滿足①對(duì)于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②對(duì)于定義域上的任意x₁、x₂，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．給出下列三個(gè)函數(shù)中：（1）f（x）=$\frac{1}{x}$；（2）f（x）=x+1；（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，能被稱為“理想函數(shù)”的有（3）（填相應(yīng)的序號(hào)）．

Answer 1

分析 由已知得“理想函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，由此判斷所給三個(gè)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f（x）同時(shí)滿足①對(duì)于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；
②對(duì)于定義域上的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，
∴“理想函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，
在（1）中，f（x）=$\frac{1}{x}$是奇函數(shù)，但不是減函數(shù)，故（1）不是“理想函數(shù)”；
在（2）中，f（x）=x+1在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，故（2）不是“理想函數(shù)”；
在（3）中，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，故（3）能被稱為“理想函數(shù)”．
故答案為：（3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，屬于中檔題．