Question

已知：數列的前項和為，若，

（Ⅰ）求證：是等差數列；

（Ⅱ）若，

求證：

Answer 1

證明：（Ⅰ）當時，              ①

                                ②

①-②得：

∴                         ③………………2分

                          ④

④-③得：

…………………………………………3分

∴…………………………………………4分

即：

∴是等差數列；…………………………………………5分

（Ⅱ）證法一：由得：

…………………………………………6分

設公差為，則，

∴…………………………………………7分

∴

…………………………………………10分

因此，…………………………………12分

證法二：（數學歸納法）

當時， 不等式成立，…………6分

假設時，不等式成立，

即………………………………7分

那么時，

…………8分

………………………………………………………………11分

即時，不等式也成立，

由①②得，不等式恒成立. …………………………………………………………12分