Question

14．已知f'（x）為定義在$（{0，\frac{π}{2}}）$上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且cosx•f（x）＜f'（x）•sinx在$（{0，\frac{π}{2}}）$上恒成立，則（　�。�

• A． $\sqrt{3}f（{\frac{π}{4}}）＞\sqrt{2}f（{\frac{π}{3}}）$
• B． $\sqrt{2}f（{\frac{π}{6}}）＞f（{\frac{π}{4}}）$
• C． $\sqrt{3}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{3}}）$
• D． $f（1）＜2f（{\frac{π}{6}}）sin1$

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，根據(jù)已知可得g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上遞增，故g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），代入整理可得答案．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）•sinx-cosx•f（x）}{{sin}^{2}x}$，
∵cosx•f（x）＜f'（x）•sinx在$（{0，\frac{π}{2}}）$上恒成立，
∴g′（x）＞0在$（{0，\frac{π}{2}}）$上恒成立，
所以g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上遞增，
所以g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），
即$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，
整理得$\sqrt{3}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{3}}）$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生的發(fā)散思維能力，本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)給出的條件cosx•f（x）＜f'（x）•sinx進(jìn)行聯(lián)想，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$．