Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，是函數(shù)f（x）=a_n-1x²-3a_n+a_n+1 （n≥2）的一個(gè)零點(diǎn)．
（1）證明{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）是否存在指數(shù)函數(shù)g（x），使得對(duì)任意的正整數(shù)n，有成立？若存在，求出滿足條件一個(gè)g（x）；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由是函數(shù)f（x）=a_n-1x²-3a_n+a_n+1 （n≥2）的一個(gè)零點(diǎn)，得2a_n-1-3a_n+a_n+1=0，即a_n+1-a_n^=2（a_n-a_n-1）
從而得到{a_n+1-a_n}是公比為2的等比數(shù)列，由累差法易得a_n=2ⁿ
（2）由s_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）2^n-1+n•2ⁿ得2s_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
 再由錯(cuò)位相減法易得S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；
（3）存在，例如g（x）=2^x，用裂項(xiàng)法求和易得證或用放縮法證明．在用放縮法時(shí)主要利用2ⁿ+1＞3，2ⁿ⁺¹+1＞5進(jìn)行放縮．
解答：解：（1）∵是函數(shù)f（x）=a_n-1x²-3a_n+a_n+1 （n≥2）的一個(gè)零點(diǎn)，
∴2a_n-1-3a_n+a_n+1=0，即a_n+1-a_n^=2（a_n-a_n-1）
∴{a_n+1-a_n}是公比為2的等比數(shù)列，即a_n+1-a_n^=（a₂-a_1）2^n-1=2ⁿ，由累差法易得a_n=2ⁿ
（2）s_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）2^n-1+n•2ⁿ
2s_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
錯(cuò)位相減得，-s_n=1•2+•2²+•2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；
（3）存在，例如g（x）=2^x，用裂項(xiàng)法求和易得證．
或用放縮法證明：
設(shè)g（k）=a^k，a＞0且a≠1，
當(dāng)時(shí)，顯然有 ，故存在這樣的指數(shù)函數(shù)
點(diǎn)評(píng)：此題考查等比數(shù)列定義，及數(shù)列求和中錯(cuò)位相減法運(yùn)用．同時(shí)還考查了用放縮法來(lái)解決問(wèn)題．