Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

（1）求函數(shù)在上的值域

（2）設(shè)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式求得單調(diào)區(qū)間和極值，并與區(qū)間端點函數(shù)值比較，從而得到函數(shù)在閉區(qū)間的最值，從而得到函數(shù)的值域；

（2）由知：，顯然是其一個根，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根等價于方程有且僅有一個根且不為0，再利用導(dǎo)數(shù)研究的最值和單調(diào)性，從而得到參數(shù)的取值范圍.

（1），令，則

當時，,所以在上遞增

當時，,所以在上遞減

因為，

所以函數(shù)的最小值為，最大值為0，

所以函數(shù)的值域是.

（2）由知：，顯然是其一個根，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根等價于方程有且僅有一個根且不為0；

令.，

易知在遞增，在遞減,

當時，,且，

若方程有且僅有一個根且不為0，

所以或.