Question

（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc
（Ⅱ）求證：

7

-

6

＜

5

-2．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵a²+b²≥2ab，c＞0
∴c（a²+b²）≥2abc，
同理可得：b（a²+c²）≥2abc；
a（b²+c²）≥2abc．
上面三個不等式相加可得：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc．
原命題得證．
（Ⅱ）要證：

7

-

6

＜

5

-2．
即證：

7

+2＜

6

+

5

，
只須證：11+2

28

＜11+2

30

轉化為證：

28

＜

30

而上式恒成立．
所以原命題得證．