Question

19．已知m為實數(shù)，函數(shù)f（x）=$\frac{2m}{3}$x³-2m²x²+$\frac{3}{2}$x²-6mx+1
（Ⅰ）當m=1時，求f（x）過點（1，f（1））的切線方程
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=10的圖象恰有三個交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當m=1時，求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，起點坐標，即可求f（x）過點（1，f（1））的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，利用曲線y=f（x）與直線y=10的圖象恰有三個交點，求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當m=1時，f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2x²+$\frac{3}{2}$x²-6x+1，f（1）=-$\frac{29}{6}$，
f′（x）=2x²-x-6，∴f′（1）=-5，
∴f（x）過點（1，f（1））的切線方程為y+$\frac{29}{6}$=-5（x-1），即y=-5x+$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）∵f（x）=$\frac{2m}{3}$x³-2m²x²+$\frac{3}{2}$x²-6mx+1，
∴f′（x）=（2mx+3）（x-2m），
m=0，f（x）與y=10的圖象有兩個交點，不合題意；
m＞0，令f′（x）＞0得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\frac{3}{2m}$），（2m，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-$\frac{3}{2m}$，2m），
∵曲線y=f（x）與直線y=10的圖象恰有三個交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{3}{2m}）＞10}\\{f（2m）＜10}\end{array}\right.$，∴0＜m＜$\frac{1}{2}$；
m＞0，令f′（x）＞0得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（-∞，2m），（-$\frac{3}{2m}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2m，-$\frac{3}{2m}$），
∵曲線y=f（x）與直線y=10的圖象恰有三個交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{3}{2m}）＞10}\\{f（2m）＜10}\end{array}\right.$，∴$-\frac{1}{2}$＜m＜0；
綜上所述，-$\frac{1}{2}$＜m＜0或0＜m＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．