Question

已知在（-）ⁿ的展開式中，第6項為常數(shù)項．
（1）求n；
（2）求含x²的項的系數(shù)；
（3）求展開式中所有的有理項．

Answer 1

解：（1）通項公式為
T_r+1=C_n^rx（-3）^rx-=C_n^r（-3）^rx．
∵第6項為常數(shù)項，
∴r=5時，有=0，
∴n=10．
（2）令=2，
得r=（n-6）=2，
∴所求的系數(shù)為C₁₀²（-3）²=405．

（3）根據(jù)通項公式，由題意，得
令=k（k∈Z），則10-2r=3k，r=5-k．
∵r∈N，∴k應(yīng)為偶數(shù)．故k可取-2，0，2，即r可取2，5，8，
所以第3項、第6項、第9項為有理項，它們分別為：C₁₀²（-3）²x²、C₁₀²（-3）⁵、C₁₀⁸（-3）⁸x^-2．
分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出通項，令r=5時x的指數(shù)為0，求出n．
（2）將n的值代入通項，令x的指數(shù)為2，求出展開式中含x²的項的系數(shù)．
（3）令通項中x的指數(shù)為整數(shù)，求出展開式的有理項．
點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．