Question

設橢圓上一點P與原點O的距離為|OP|=r₁，OP的傾斜角為θ，將射線OP繞原點O逆時針旋轉90°后與橢圓相交于點Q，若|OQ|=r₂，則r₁r₂的最小值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

B
分析：設直線OP方程為y=kx，點P（x₁，y₁），利用方程組聯(lián)解的方法可得：=，=，所以r₁²=+=．同理可得到Q（x₂，y₂）滿足：r₂²=+=，所以有=，化簡整理，結合基本不等式，可得r₁r₂≥，當且僅當r₁=r₂，即k²=1時，r₁r₂取到最小值．
解答：設直線OP方程為y=kx，點P（x₁，y₁）
∵點P是橢圓與直線y=kx的交點
∴由可得：==，=k²x²=
∵點P與原點O的距離為|OP|=r₁，
∴r₁²=+==，
∵OQ是由OP繞原點逆時針旋轉90°而得，
∴直線OQ方程為y=x，
再設Q（x₂，y₂），用類似于求r₁²的方法，可得r₂²=+=
∴r₁、r₂滿足=，可得+=
根據(jù)基本不等式，可得+≥2r₁r₂
∴≥2r₁r₂，即r₁r₂≥，當且僅當r₁=r₂，即k²=1時，r₁r₂取到最小值
故選B
點評：本題給出橢圓上兩點P、Q滿足∠POQ=90°，求OP、OQ之積的最小值，著重考查了橢圓的基本概念、直線與橢圓的關系和基本不等式等知識點，屬于中檔題．