Question

【題目】已知為實數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，.對于函數(shù)，若存在且，使得，則稱函數(shù)是“和諧”函數(shù).

（1）判斷函數(shù)，是否是“和諧”函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）

（2）設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小周期為，若不是“和諧”函數(shù)，求的最小值.

（3）若函數(shù)是“和諧”函數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是“和諧”函數(shù)，不是“和諧”函數(shù).（2）最小值為1.（3）且，且

【解析】

（1）根據(jù)“和諧”函數(shù)的定義即可判斷，是否是“和諧”函數(shù).

（2）根據(jù)周期函數(shù)的定義，結(jié)合“和諧”函數(shù)的條件，進行判斷和證明即可.

（3）根據(jù)“和諧”函數(shù)的定義，分別討論，和時，滿足的條件即可.

（1）由題知：是“和諧”函數(shù)，

不是“和諧”函數(shù).

（2）的最小值為.

因為是以為最小正周期的周期函數(shù)，所以.

假設(shè)，則，所以，矛盾.

所以必有，

而函數(shù)的周期為1，且顯然不是“和諧”函數(shù)，

綜上，的最小值為1.

（3）當函數(shù)是“和諧”函數(shù)時，

若，則顯然不是“和諧”函數(shù)，矛盾.

若，則，

所以在，上單調(diào)遞增，

此時不存在，使得，

同理不存在，使得，

又注意到，即不會出現(xiàn)的情形，

所以此時不是“和諧”函數(shù).

當時，設(shè)，

所以，所以有，其中，

當時，

因為，所以，

所以.

當時，，

因為，所以，

所以.

記，綜上，我們可以得到“且，且”.