Question

【題目】如圖，橢圓C： =1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A（2，0），左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ， 過(guò)點(diǎn)A且斜率為 的直線與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為點(diǎn)F1 ．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P且斜率大于 的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN=λ，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：因?yàn)锽F1⊥x軸，得到點(diǎn) ，

所以 ，所以橢圓C的方程是 ．

（Ⅱ）因?yàn)? ，

所以 ．由（Ⅰ）可知P（0，﹣1），設(shè)MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），

聯(lián)立方程 得：（4k2+3）x2﹣8kx﹣8=0．即得 （*）

又 ，有 ，

將 代入（*）可得： ．

因?yàn)? ，有 ，

則 且λ＞2 ．

綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 ．

【解析】（Ⅰ）利用已知條件列出方程組，求解橢圓的幾何量，然后求解橢圓C的方程．

（Ⅱ）利用三角形的面積的比值，推出線段的比值，得到 ．設(shè)MN方程：y=kx﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立方程 ，利用韋達(dá)定理，求出 ，解出 ，將 橢圓方程，然后求解實(shí)數(shù)λ的取值范圍．