Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（Ⅰ）若當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）按照x與1進(jìn)行討論，分離常數(shù)得a≤

x2-1

|x-1|

，令φ(x)=

x2-1

|x-1|

，去掉絕對(duì)值符號(hào)化簡(jiǎn)解析式，由一次函數(shù)的性質(zhì)分別求出φ（x）的范圍，由恒成立問(wèn)題求出a的范圍，最后取并集；
（Ⅱ）由題意求出h（x），按照x與1、-1的關(guān)系去掉絕對(duì)值符號(hào)化簡(jiǎn)解析式，由區(qū)間和對(duì)稱(chēng)軸對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，分別由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出h（x）在區(qū)間上的單調(diào)性，并求出對(duì)應(yīng)的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）≥g（x）對(duì)x∈R恒成立，即（x²-1）≥a|x-1|（*）對(duì)x∈R恒成立，
①當(dāng)x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)a∈R；
②當(dāng)x≠1時(shí)，（*）可變形為a≤

x2-1

|x-1|

，令φ(x)=

x2-1

|x-1|

=

x+1，(x＞1) -(x+1)，(x＜1)

因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，φ（x）＞2，當(dāng)x＜1時(shí)，φ（x）＞-2，所以φ（x）＞-2，故此時(shí)a≤-2．
綜合①②，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-2．
（Ⅱ）因?yàn)閔（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=

x2+ax-a-1，(x≥1) -x2-ax+a+1，(-1≤x＜1) x2-ax+a-1，(x＜-1)

…（10分）
①當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，可知h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，經(jīng)比較，此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3．
②當(dāng)0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時(shí)，h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上遞減，
在[-1，-

a

2

]，[1，2]上遞增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
經(jīng)比較，知此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3．
③當(dāng)-1≤

a

2

＜0，即-2≤a＜0時(shí)，h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上遞減，
在[-1，-

a

2

]，[1，2]上遞增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
經(jīng)比較，知此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3．
④當(dāng)-

3

2

≤

a

2

＜-1，即-3≤a＜-2時(shí)，h（x）在[-2，

a

2

]，[1，-

a

2

]上遞減，
在[

a

2

，1]，[-

a

2

，2]上遞增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
經(jīng)比較，知此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3．
當(dāng)

a

2

＜-

3

2

，即a＜-3時(shí)，h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為h（1）=0．
⑤當(dāng)-2＜

a

2

＜-

3

2

，即-4＜a＜-3時(shí)，
h（x）在[-2，

a

2

]，[1，-

a

2

]上遞減，在[-

a

2

，1]，[-

a

2

，2]上遞增，此時(shí)h（x）在[-2，2]上最大值為h（1）=0；
⑥當(dāng)

a

2

≤-2，即a≤-4時(shí)，h（x）在[-2，1]上遞增，在[1，2]上遞減，
故此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為h（1）=0．
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3；
當(dāng)-3≤a＜0時(shí)，h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3；
當(dāng)a＜-3時(shí)，h（x）在[-2，2]上的最大值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，以及分類(lèi)討論，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法，在高考試題中占有重要的位置．