Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，

an+1 2an

=

n+1

n

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，試推斷是否存在常數(shù)A，B，C，使對一切n∈N⁺都有a_n=b_n+1-b_n成立？若存在，求出A，B，C的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，得an+1=2(1+

1

n

)2an，所以數(shù)列{

an

n2

}是公比為2的等比數(shù)列，首項為a₁=2，由此可知a_n=2ⁿ•n²．
（Ⅱ）由題題意知若a_n=b_n+1-b_n恒成立，則An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，由此能解出A=1，B=-4，C=6．故存在常數(shù)A，B，C滿足條件．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得an+1=2(1+

1

n

)2an，
即

an+1

(n+1)2

=2×

an

n2

，（3分）
所以數(shù)列{

an

n2

}是公比為2的等比數(shù)列，首項為a₁=2，
故a_n=2ⁿ•n²． （6分）
也可以用累積法；
（Ⅱ）因為b_n+1-b_n=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ，
若a_n=b_n+1-b_n恒成立，則An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，
所以

A=1 4A+B=0 2A+2B+C=0

，（9分）
解出A=1，B=-4，C=6．
故存在常數(shù)A，B，C滿足條件． （12分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答．