Question

若拋物線y²=ax（a＞0）上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線y=x-2對(duì)稱，則a的取值范圍是（　　）

• A、0＜a＜

  10

  3

• B、0＜a＜

  8

  3

• C、0＜a＜2
• D、0＜a＜

  4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镸，N在拋物線上，把兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，作差后求出MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又MN的中點(diǎn)在直線y=x-2上，代入后求其橫坐標(biāo)，然后由MN中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部列不等式求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
因?yàn)閮牲c(diǎn)M，N關(guān)于直線y=x-2對(duì)稱，所以k_MN=-1，
因?yàn)辄c(diǎn)M和N在拋物線上，所以有y₁²=ax₁①y₂²=ax₂②
①-②整理得y₁+y₂=-a．
設(shè)MN的中點(diǎn)為A（x₀，y₀），則y₀=-

a

2

．
又A在直線x-y-2=0上，所以x₀=-

a

2

+2．
則A（-

a

2

+2，-

a

2

）．
因?yàn)锳在拋物線內(nèi)部，所以（-

a

2

）²-a（-

a

2

+2）＜0
解得0＜a＜

8

3

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)差法，是解決與弦中點(diǎn)有關(guān)問題的常用方法，解答的關(guān)鍵是由AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部得到關(guān)于a的不等式，是中檔題．