Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦點(diǎn)為F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），焦點(diǎn)F₂到漸近線的距離為

3

，兩條準(zhǔn)線之間的距離為1．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）若直線y=x+2與雙曲線分別相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；
（3）過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F₂且與（2）中AB平行的直線與雙曲線分別相交于C、D兩點(diǎn)，若

AB

+

AD

=

AC

，求

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，由題意，列出關(guān)于a，b，c的方程，解得a，b，c．從而寫(xiě)出雙曲線的方程即可；
（2）應(yīng)用弦長(zhǎng)公式，欲求|AB|，只需求x₁+x₂，x₁x₂的值即可，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理可得．
（3）由雙曲線和平行四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)性，可知A與C、B與D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．而

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞=

1

2

|AB|×d．結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解．

解答：解：（1）∵焦點(diǎn)F₂（c，0）到漸近線bx±ay=0的距離為

3

，兩條準(zhǔn)線之間的距離為1，
∴

d= bc a2+b2 =b= 3 2a2 c =1

⇒

a=1 b= 3 c=2.

∴雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1．
（2）由題意設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
由

y=x+2 x2- y2 3 =1

⇒2x2-4x-7=0
∴|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+1

×

72

2

=6．
（3）由雙曲線和平行四邊形ABCD的對(duì)稱(chēng)性，可知A與C、B與D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
而

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞=

1

2

(|

OA

|•|

OD

|cos＜

OA

，

OD

＞)tan＜

OA

，

OD

＞
=

1

2

|

OA

|•|

OD

|sin＜

OA

，

OD

＞=S△AOD=S△AOB=

1

2

|AB|×d．
∵點(diǎn)O到直線y=x+2的距離d=

2

2

=

2

，
∴S_△AOB=

1

2

|AB|×d=3

2

．
∴

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．