Question

12．已知，正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、M、F分別是AD、CD、CC₁的中點，
求證：（1）EM∥平面BFD₁；
（2）A₁E⊥平面ABF．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正方向邊長為1，以D為原點，分別以線段DC，DA，DD₁的正方向為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意可得：$\overrightarrow{{FD}_{1}}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{FB}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），設(shè)平面平面BFD₁的法向量為：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{FD}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0\end{array}\right.$，不妨令z=2，則$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）．由$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}$=0，即可證明EM∥平面BFD₁；
（2）由題意可得坐標(biāo)$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，-$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{BF}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），由于：$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{BF}$=0，可證A₁E⊥BF，又AB⊥A₁E，即可證明A₁E⊥平面ABF．

解答 證明：（1）如圖，設(shè)正方向邊長為1，以D為原點，分別以線段DC，DA，DD₁的正方向為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則由題意可得：D（0，0，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0），D₁（0，0，1），B（1，1，0），F(xiàn)（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{FD}_{1}}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{FB}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），
設(shè)平面平面BFD₁的法向量為：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{FD}_{1}}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}-y+\frac{1}{2}z=0\\ x-\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$，不妨令z=2，則$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）．
$\overrightarrow{ME}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）．
$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{n}$=0，ME?平面BFD₁；
∴EM∥平面BFD₁；
（2）由題意可得：D（0，0，0），E（0，$\frac{1}{2}$，0），A₁（1，0，1），B（1，1，0），F(xiàn)（0，1，$\frac{1}{2}$），
可得：$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，-$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{BF}$=（0，-1，$\frac{1}{2}$），
由于：$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{BF}$=0+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$=0，
所以：A₁E⊥BF，
又∵正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥A₁E，AB∩BF=B，
∴A₁E⊥平面ABF．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，屬于中檔題．