Question

已知函數(shù)f（x）=log

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[x2-2(2a-1)x+8]，a∈R．
（1）若f（x）在[a，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=log

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（x+3）-1在（1，3）內(nèi)有兩不等實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由真數(shù)在[a，+∞）上為增函數(shù)且恒大于0列不等式組求得a的取值范圍；
（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，得到ax²-4ax+2=0在（1，3）內(nèi)有兩不等實(shí)根，然后借助于“三個(gè)二次”的結(jié)合列不等式組得答案．

解答： 解：（1）要使f（x）在[a，+∞）上為減函數(shù)，一方面g（x）=x²-2（2a-1）x+8遞增，另一方面g（x）＞0，
∴2a-1≤a且g（a）=a²-2a（2a-1）+8＞0，解得-

4

3

＜a≤1；
（2）由已知得log

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2

[x2-2(2a-1)x+8]=log

1

2

（x+3）-1在（1，3）內(nèi)有兩不等實(shí)根，
即x²-4ax+2=0在（1，3）內(nèi)有兩不等實(shí)根，
令F（x）=x²-4ax+2，
則

△＞0 1＜2a＜3 F(1)＞0 F(3)＞0

，
即

a＞ 2 2 或a＜- 2 2 1 2 ＜a＜ 3 2 a＜ 3 4 a＜ 11 12

，
解之得

2

2

＜a＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，訓(xùn)練了利用“三個(gè)二次”的結(jié)合求解參數(shù)的范圍，是中檔題．