Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+x-2，x≥0 x2-x-2，x＜0.

（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求f（x₁+x₂）；
（Ⅲ）由點(diǎn)H（0，h）向f（x）引切線，切點(diǎn)分別為P，Q，當(dāng)△PQH為正三角形時，求h的值．

Answer 1

分析：（I）由已知易判斷出函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，進(jìn)行判斷得到結(jié)論；
（II）畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象及（I）中結(jié)論可知，若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），則x₁和x₂關(guān)于原點(diǎn)O對稱，從而求出f（x₁+x₂）；
（III）如圖，根據(jù)對稱性可知，當(dāng)△PQH為正三角形時，切線PH的傾斜角為60°，求出其斜率k，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義求出點(diǎn)P（m，n）的坐標(biāo)，從而得出切線PH的方程，最后令x=0即可．

解答：解：（I）f（x）是偶函數(shù)，證明如下：
當(dāng)x＞0 時，-x＜0，有：f（x）=x²+x-2 
f（-x）=（-x）²-（-x）-2=x²+x-2=f（x）；
當(dāng)x＜0 時，-x＞0，有：f（x）=x²-x-2 
f（-x）=（-x）²+（-x）-2=x²-x-2=f（x）；
當(dāng)x=0，也有f（-x）=f（x），
又函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f（x）是偶函數(shù)；
（II）畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象及（I）中結(jié)論可知，
若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），則x₁和x₂關(guān)于原點(diǎn)O對稱，
從而x₁+x₂=0，∴f（x₁+x₂）=-2；
（III）如圖，根據(jù)對稱性可知，當(dāng)△PQH為正三角形時，切線PH的傾斜角為60°，
∴其斜率k=

3

，
當(dāng)x＞0時，f（x）=x²+x-2，∴f′（x）=2x+1，
設(shè)P（m，n），則2m+1=

3

，且m²+m-2=n，
解得：m=

3 -1

2

，n=-

3

2

，
故切線PH的方程為：y+

3

2

=

3

（x-

3 -1

2

），令x=0得y=

-6+ 3

2

，
即h=

-6+ 3

2

．

點(diǎn)評：本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)奇偶性的判斷、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．