Question

（本題滿分14分）

設(shè)函數(shù)

（1）求函數(shù)極值；

（2）當(dāng)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）f_極大=f(—1)=—4.  f_極小=f(—)=；（2）a的范圍為。

【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及由函數(shù)恒成立的問題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關(guān)鍵是記憶好求導(dǎo)的公式以及極值的定義，對于函數(shù)的恒成立的問題求參數(shù)，要注意正確轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以大大降低解題難度．

（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令導(dǎo)數(shù)大于0求出單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0求出函數(shù)的減區(qū)間，再由極值的定義判斷出極值即可；

（2）設(shè)F(x)=f(x)—g(x)=x³+(2—a)x²+4

利用不等式恒成立構(gòu)造新函數(shù)，求解函數(shù)的最值得到結(jié)論。

解：（1）∵f(x)=x³+2x²+x­—4

∴=3x²+4x+1，…………………………2分

令=0，得x₁= —1,x₂= —.

 

x	（－∞,－1）	－1	（－1,－）	－	（－,+∞）
	+	0	—	0	+
		極大		極小

∴f_極大=f(—1)=—4.  f_極小=f(—)=…………………………6分

（2）設(shè)F(x)=f(x)—g(x)=x³+(2—a)x²+4

 

解得a≤5    ∴2<a≤5………10分，當(dāng)x=0時，F(xiàn)(x)=4

∴a的范圍為…………1４分