Question

“a≤-1”是“函數(shù)f（x）=lnx+ax+

1

x

在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)”的（　�。�

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：若函數(shù)f（x）=lnx+ax+

1

x

在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足不變號，
即f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∵f′（x）=

1

x

+a-

1

x2

，
∴若函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，則f′（x）=

1

x

+a-

1

x2

≤0，即a≤-

1

x

+

1

x2

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

恒成立，
設(shè)g（x）=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

，
∵x≥1，∴0＜

1

x

≤1，則當(dāng)

1

x

=

1

2

時，g（x）取得最小值-

1

4

，此時a≤-

1

4

，
∴若函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則f′（x）=

1

x

+a-

1

x2

≥0，即a≥-

1

x

+

1

x2

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

恒成立，
設(shè)g（x）=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

，
∵x≥1，∴0＜

1

x

≤1，
則-

1

4

≤g（x）≤0，此時a≥0，
綜上若函數(shù)f（x）=lnx+ax+

1

x

在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則a≥0或a≤-

1

4

，
則“a≤-1”是“函數(shù)f（x）=lnx+ax+

1

x

在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)”的充分不必要條件，
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．