Question

12．已知△ABC的兩個頂點A，B分別為橢圓x²+5y²=5的左焦點和右焦點，且三個內角A，B，C滿足關系式sinB-sin A=sinC．
（1）求線段AB的長度；
（2）求頂點C的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）化簡橢圓為標準方程，求出a，b，c，即可求解線段AB的長度．
（2利用正弦定理轉化已知條件為線段方程，利用雙曲線定義求解軌跡方程即可．

解答 解：（1）將橢圓方程化為標準形式為$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
∴a²=5，b²=1，c²=a²-b²=4，
則A（-2，0），B（2，0），|AB|=4．
（2）∵sin B-sin A=sin C，
∴由正弦定理得
|CA|-|CB|=|AB|=2＜|AB|=4，
即動點C到兩定點A，B的距離之差為定值．
∴動點C的軌跡是雙曲線的右支，并且c=2，a=1，
∴所求的點C的軌跡方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x＞1）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，軌跡方程的求法，雙曲線的定義的應用，考查轉化思想以及計算能力．