Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N₊），a₁=0，a_n+1=2a_n+n×2ⁿ（n≥1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試用數(shù)學歸納法證明S_n=2^n-1×（n²-3n+4）-2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1=2a_n+n×2ⁿ，知a_n=2a_n-1+（n-1）×2^n-1，a_n-1=2a_n-2+（n-2）×2^n-2，2a_n-1=2²a_n-2+（n-2）×2^n-1（3分），…，2^n-2a₂=2^n-1a₁+1×2^n-1，累加得a_n．
（2）n=1時，左邊=右邊，命題成立；設n=k（k∈N₊）時，命題成立，即S_k=2^k-1×（k²-3k+4）-2（8分），則S_k+1=S_k+a_k+1=2^k-1×（k²-3k+4）-2+2^k-1×k（k+1）=2^k（k²-k+2）-22^k×[（k+1）²-3（k+1）+4]-2，從而n=k+1時，命題成立．綜上所述，數(shù)列a_n的前n項和S_n=2^n-1×（n²-3n+4）-2．
解答：解：（1）由a_n+1=2a_n+n×2ⁿ得a_n=2a_n-1+（n-1）×2^n-1，
a_n-1=2a_n-2+（n-2）×2^n-2（1分），
2a_n-1=2²a_n-2+（n-2）×2^n-1（3分），…，2^n-2a₂=2^n-1a₁+1×2^n-1，
累加得a_n=[（n-1）+（n-2）+…+1]×2^n-1=2^n-2×n（n-1）（5分）．
（2）n=1時，左邊S₁=a₁=0，
右邊2^n-1×（n²-3n+4）-2=1×（1-3+4）-2=0，
左邊=右邊，命題成立（7分）；
設n=k（k∈N₊）時，命題成立，
即S_k=2^k-1×（k²-3k+4）-2（8分），
則S_k+1=S_k+a_k+1（9分），
=2^k-1×（k²-3k+4）-2+2^k-1×k（k+1）=2^k（k²-k+2）-22^k×[（k+1）²-3（k+1）+4]-2，
從而n=k+1時，命題成立（11分）．
綜上所述，數(shù)列a_n的前n項和S_n=2^n-1×（n²-3n+4）-2（12分）．
點評：第（1）題考查求數(shù)列{a_n}的通項的方法，解題時要注意累加法的應用；第（2）題考查數(shù)列前n項和的證明，解題時要注意數(shù)學歸納法的證明過程．