Question

△A₁OB₁，△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃，…，△A_nB_n-1B_n均為等腰直角三角形，已知它們的直角頂點A₁，A₂，A₃，…，A_n在曲線xy=1（x＞0）上，B₁，B₂，B₃，…，B_n在x軸上（如圖），
（1）求斜邊OB₁，B₁B₂，B₂B₃的長；
（2）求數(shù)列OB₁，B₁B₂，B₂B₃，…，B_n-1B_n的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圖形關(guān)系直接可以計算；（2）解法一可以由（1）猜想結(jié)論，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，解法二借助于表示出B_n、A_n的坐標，利用曲線xy=1，從而構(gòu)建數(shù)列，探求其通項．
解答：解：（1）．（4分）
（2）解法1：B_n-1B_n=a_n，猜想出
當n=1時，由上已證猜想成立．
假設(shè)n=k時，猜想成立，即有，（2分）
設(shè)S_k是a_n的前k項和，則有．
∴．
兩式相減，得（3分）
即．
∴，
解得，（2分）
綜合上述，所求的通項公式．（1分）
解法2：設(shè)OB₁=a₁，B₁B₂=a₂，，B_n-1B_n=a_n，{a_n}的前n項和為S_n
．側(cè)B_n（S_n，0），∴．（3分）
代入曲線方程得：，（2分）
化簡得（S_n+1）²-（S_n）²=4，（3分）
∴（S_n）²=（S₁）²+4（n-1）=4n，∴所求的通項公式為．
點評：本題的解法一體現(xiàn)特殊到一般地思維，但結(jié)論的正確性必須有嚴密的證明；解法二的關(guān)鍵是構(gòu)建數(shù)列，從而探求數(shù)列的通項．