Question

已知四邊形ABCD的4個頂點都在拋物線y=x²上，A、C點關于y軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線．
（1）證明：AC平分∠BAD．
（2）若點A的坐標為（-1，1），S_{四邊形ABCD}=4，求直線BD的解析式．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由已知條件設A（x₁，x12），B（x₂，x22），C（x₃，x32），D（x₄，x42），分別推導出k_AD=-x₁-x₂，k_AB=x₂+x₁，由A，C關于y軸對稱，得到AD、AB與AC軸的夾角相等，由此能夠證明AC平分∠BAD．
（2）由A（-1，1），推導出C（1，1），|AC|=2，設B（x₂，x22），則D（2-x₂，（2-x₂）²），由S_{四邊形ABCD}=4，推導出x₂=2，由此能求出直線BD的方程．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線y=x²上，
∴設A（x₁，x12），B（x₂，x22），C（x₃，x32），D（x₄，x42），
∵A．C關于y軸對稱，
∴x₃=-x₁，∴C（-x₁，x12），
∵y'=2x，∴點C切線斜率k=-2x₁，
∵BD平行于拋物線在點C處的切線，
∴

x22-x42

x2-x4

=-2x₁，∴x₄=-2x₁-x₂，
k_AD=

x42-x12

x4-x1

=x₄+x₁=-2x₁-x₂+x₁=-x₁-x₂，
k_AB=

x22-x12

x2-x1

=x₂+x₁，
∴k_AD=-k_AB，
∴直線AD、AB與x軸的夾角相等，方向相反，
∵A，C關于y軸對稱，∴AC∥x軸，∴AD、AB與AC軸的夾角相等，
∴AC平分∠BAD．
（2）如圖，∵A（-1，1），∴C（1，1），∴|AC|=2，
設B（x₂，x22），則D（2-x₂，（2-x₂）²），
∵S_{四邊形ABCD}=4，
∴

1

2

×2×{（x22-1）+[1-（2-x₂）²}=4，
解得x₂=2，∴B（2，4），D（0，0），
∴直線BD的方程為：

y

x

=

4

2

，
整理，得2x-y=0．

點評：本題考查AC平分∠BAD的證明，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意數(shù)形結合思想的合理運用．