Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-2a|-2x，x∈R．
（1）當(dāng)a=

1

2

時，函數(shù)y=f（x）-m有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）需要分類討論，當(dāng)x≥1時，f（x）=x²-3x，當(dāng)x＜1時，f（x）=-x²+x，再根據(jù)方程的根的個數(shù)判斷函數(shù)y=f（x）-m零點的情況．
（2需要分類討論，當(dāng)x≥2a時，當(dāng)x＜2a時，再求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=x|x-2a|-2x，a=

1

2

，
∴f（x）=x|x-1|-2x
當(dāng)x≥1時，f（x）=x²-3x，
當(dāng)x＜1時，f（x）=-x²+x
函數(shù)y=f（x）-m有三個零點，
∴f（x）-m=0有三個實數(shù)根．
①x≥1時，x²-3x-m=0，△=9+4m，
當(dāng)9+4m＞0時，即m＞-

9

4

方程有兩個不相等的實數(shù)根，
當(dāng)9+4m=0，即m=-

9

4

方程有兩個相等的實數(shù)根，
②x＜1時，-x²+x-m=0，即，x²-x+m=0，△=1-4m，
當(dāng)1-4m＞0時，即m＞

1

4

方程有兩個不相等的實數(shù)根，
當(dāng)1-4m=0，即m=

1

4

方程有兩個相等的實數(shù)根，
綜上所述，當(dāng)m=

1

4

時，函數(shù)y=f（x）-m有三個零點
（2）①當(dāng)x≥2a時，f（x）=x²-2（a+1）x=[x-（a+1）]²-（a+1）²，
x∈（-∞，a+1）時，f（x）為單調(diào)減函數(shù)，
x∈[a+1，2a]時，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
②當(dāng)x＜2a時，f（x）=-x²+2（a-1）x=-[x-（a-1）]²+（a-1）²，
x∈[a-1，2a）時，f（x）為單調(diào)減函數(shù)，
x∈（-∞，a-1）時，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，

點評：本題主要考查了函數(shù)零點的問題和函數(shù)的單調(diào)性的問題，屬于中檔題．