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【題目】如圖，在三棱柱中，為正三角形，平面平面，，為的中點，．

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用面面垂直的性質定理可得平面,由線面垂直的性質可得線線垂直；

（2）故以為坐標原點,分別以的方向為軸建立空間直角坐標系,

分別求得平面與平面的法向量,利用空間向量求二面角的余弦值.

（1）證明:∵,為的中點,

∴,

∵平面平面,平面平面,平面,

∵平面,

∴；

（2）連接,

∵,,

∴為正三角形,

∵為的中點,

∴,

∵平面平面,平面平面,平面,

∴平面,

故以為坐標原點,分別以的方向為軸建立空間直角坐標系,如圖所示,

則,,,,,

設為平面的法向量,

則,

即,可取,則,

由（1）知為平面的法向量,

于是,

∴二面角的平面角的余弦值為

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，正四棱錐的底邊長為2，側棱長為，為上一點，且，點，分別為，上的點，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求銳二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知某種細菌的適宜生長溫度為12℃~27℃，為了研究該種細菌的繁殖數量（單位：個）隨溫度（單位：℃）變化的規(guī)律，收集數據如下：

溫度/℃

14

16

18

20

22

24

26

繁殖數量/個

25

30

38

50

66

120

218

對數據進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示：

20

78

4.1

112

3.8

1590

20.5

其中，.

（1）請繪出關于的散點圖，并根據散點圖判斷與哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數量關于溫度的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）根據（1）的判斷結果及表格數據，建立關于的回歸方程（結果精確到0.1）；

（3）當溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數量的預報值為多少？

參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計分別為，，參考數據：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．

（1）當a＝4時，求解不等式f（x）≥8；

（2）已知關于x的不等式f（x）在R上恒成立，求參數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體中，平面，，四邊形為菱形，，點，分別在棱，上.

（1）若平面，設，求的值；

（2）若，，直線與平面所成角的正切值為，求三棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】四川省雙流中學是一所國家級示范高中，具有悠久的辦學歷史、豐富的辦學經驗.近年來，雙中共為國內外高校輸送合格新生20000余名，其中為清華、北大、復旦、人大等一流學府輸送新生1800余名，上本科線人數年年超過千人，培養(yǎng)出省、市、縣高考冠軍17名，位居成都市同類學校前茅.該校高三某班有50名學生參加了今年成都市“一診”考試，其中英語成績服從正態(tài)分布，數學成績的頻率分布直方圖如下：

（1）如果成績140分及以上為單科特優(yōu)，則該班本次考試中英語、數學單科特優(yōu)大約各多少人？

（2）試問該班本次考試中英語和數學平均成績哪個較高，并說明理由；

（3）如果英語和數學兩科都為單科特優(yōu)共有5人，把（1）中的近似數作為真實值，從（1）中這些同學中隨機抽取3人，設三人中英語和數學雙科特優(yōu)的有人，求的分布列和數學期望.

參考公式及數據：

則

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓與x軸負半軸交于，離心率.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線與橢圓C交于兩點，連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點，若，直線MN是否恒過定點，如果是，請求出定點坐標，如果不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.

（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求圖2中的二面角BCGA的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了響應國家號召，促進垃圾分類，某校組織了高三年級學生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷作答，隨機抽出男女各20名同學的問卷進行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績大于70分的為“合格”.

男

女

總計

合格

不合格

總計

（1）由以上數據繪制成2×2聯(lián)表，是否有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果”有關？

（2）從上述樣本中，成績在60分以下（不含60分）的男女學生問卷中任意選2個，求這2個學生性別不同的概率.

附：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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