Question

已知函數(shù)f(x)=

x-1 x+1

，(x＞1)
（1）求函數(shù)f（x）的反函數(shù) f^-1（x）及其定義域；
（2）若?(x)=f-1(x)-

ax

1-x2

在區(qū)間[

1

3

，

1

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設y=f(x)=

x-1 x+1

(x＞1)，則y2=

x-1

x+1

，y＞0，由此能求出f^-1（x）和其定義域．
（2）?(x)=f-1(x)-

ax

1-x2

=

x2-ax+1

1-x2

，由m=1-x²在區(qū)間[

1

3

，

1

2

]上是單調(diào)減函數(shù)，∅（x）=

x2-ax+1

1-x2

在區(qū)間[

1

3

，

1

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，知n=x²-ax+1在區(qū)間[

1

3

，

1

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）設y=f(x)=

x-1 x+1

(x＞1)，
則y2=

x-1

x+1

，y＞0，
x=

y2+1

1-y2

，
x，y互換，得y =

x2+1

1-x2

．
∵y=f(x)=

x-1 x+1

(x＞1)，
∴y＞0，
∴f^-1（x）=

x2+1

1-x2

，其定義域為{x|x＞0}．
（2）?(x)=f-1(x)-

ax

1-x2

=

x2+1

1-x2

-

ax

1-x2

=

x2-ax+1

1-x2

，
∵m=1-x²在區(qū)間[

1

3

，

1

2

]上是單調(diào)減函數(shù)，∅（x）=

x2-ax+1

1-x2

在區(qū)間[

1

3

，

1

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴n=x²-ax+1在區(qū)間[

1

3

，

1

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴

a

2

≤

1

3

，
∴a≤

2

3

．

點評：本題考查反函數(shù)的求法和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．