Question

某跳水運動員在一次跳水訓練時的跳水曲線為如圖所示的拋物線一段．已知跳水板AB長為2m，跳水板距水面CD的高BC為3m．為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓練時跳水曲線應在離起跳點A處水平距hm（h≥1）時達到距水面最大高度4m．規(guī)定：以CD為橫軸，BC為縱軸建立直角坐標系．
（1）當h=1時，求跳水曲線所在的拋物線方程；
（2）若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)入水時才能達到比較好的訓練效果，求此時h的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知最高點為（2+h，4），h≥1．設拋物線方程為y=a[x-（2+h）]²+4，當h=1時，最高點為（3，4），方程為y=a（x-3）²+4，由此能求出結果．
（2）將點A（2，3）代入y=a[x-（2+h）]²+4，得ah²=-1，由題意，方程a[x-（2+h）]²+4=0在區(qū)間[5，6]內(nèi)有一解，由此入手能求出達到較好的訓練效果時h的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知最高點為（2+h，4），h≥1．
設拋物線方程為y=a[x-（2+h）]²+4，
當h=1時，最高點為（3，4），方程為y=a（x-3）²+4，
將A（2，3）代入，得3=a（2-3）²+4，
解得a=-1，
∴當h=1時，跳水曲線所在的拋物線方程為y=-（x-3）²+4．
（2）將點A（2，3）代入y=a[x-（2+h）]²+4，
得ah²=-1，①
由題意，方程a[x-（2+h）]²+4=0在區(qū)間[5，6]內(nèi)有一解，
令f（x）=a[x-（2+h）]²+4=-

1

h2

[x-（2+h）]²+4，
則f（5）=-

1

h2

（3-h）²+4≥0，且f（6）=-

1

h2

（4-h）²+4≤0．
解得1≤h≤

4

3

．
故達到較好的訓練效果時h的取值范圍是[1，

4

3

]．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．