Question

已知圓C₁：x²+y²=1與圓C₂：（x-2）²+（y-4）²=1，過動點P（a，b）分別作圓C₁、圓C₂的切線PM、PN，（M、N分別為切點），若PM=PN，則

(a-5)2+(b+1)2

的最小值是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：計算題,直線與圓

分析：由PM=PN，得P（a，b）到兩圓的圓心距離相等，可得P的方程a+2b-5=0，代入

(a-5)2+(b+1)2

構造關于b的函數(shù)，利用函數(shù)求最值．

解答： 解：∵PM=PN，兩圓的半徑都為1，∴P（a，b）到兩圓的圓心距離相等，
∴

a2+b2

=

(a-2)2+(b-4)2

⇒a+2b-5=0，
又

(a-5)2+(b+1)2

=

4b2+b2+2b+1

=

5(b+ 1 5 )2+1- 1 5

≥

2 5

5

，
故答案是

2 5

5

．

點評：本題考查了直接法求軌跡方程，解題的關鍵是利用P的軌跡方程構造函數(shù)，求最值．