Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點．
（1）求證：平面PAB∥平面EFG；
（2）在線段PB上確定一點Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線定理和正方形的性質(zhì)證出EF∥AB，根據(jù)線面平行的判定定理證出EF∥平面PAB，同理證出EG∥平面PAB，再根據(jù)面面平行判定定理，即可證出平面PAB∥平面EFG；
（2）取PB中點Q，連結(jié)DE、EQ、AQ．由線面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合已知條件證出AD⊥平面PDC，從而得到AD⊥PC，再由等腰直角△PCD中DE是斜邊的中線，證出DE⊥PC，利用線面垂直判定定理，可得PC⊥平面ADQ．由此得到存在Q為線段PB中點時，PC⊥平面ADQ．

解答：解：（1）∵△PCD中，E、F分別是線段PC、PD的中點，∴EF∥CD，
又∵四邊形ABCD為正方形，得AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB．
同理可證：EG∥平面PAB，
∵EF、EG是平面EFG內(nèi)的相交直線，∴平面PAB∥平面EFG；
（2）Q為線段PB中點時，PC⊥平面ADQ．證明如下
取PB中點Q，連結(jié)DE、EQ、AQ，
由于EQ∥BC∥AD，且AD、QE不相等，所以ADEQ為梯形，
由PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，得AD⊥PD，
∵AD⊥CD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDC，
∵PC?平面PDC，∴AD⊥PC，
∵△PDC為等腰直角三角形，E為斜邊中點，∴DE⊥PC，
∵AD、DE是平面ADQ內(nèi)的相交直線，∴PC⊥平面ADQ．

點評：本題在特殊的四棱錐中證明線面垂直和面面平行，著重考查了空間平行、垂直的位置關(guān)系的判斷與證明等知識，屬于中檔題．