Question

已知定義在（1，+∞）上的函數f（x）=

1

a

-

1

x-1

（a＞0）
（1）若f（2t-3）＞f（4-t），求實數t的取值范圍；
（2）若f（x）≤4x對（1，+∞）上的任意x都成立，求實數a的取值范圍；
（3）若f（x）在定義域[m，n]（m＞1）上的值域是[m，n]（m≠n），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則得到f′（x），即可判斷函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增，由f（2t-3）＞f（4-t），即可得到2t-3＞4-t＞1，解得即可；
（2）f（x）≤4x，化為

1

a

≤

1

x-1

+4x．f（x）≤4x對（1，+∞）上的任意x都成立?

1

a

≤[

1

x-1

+4x]min，x∈（1，+∞）．令g（x）=4x+

1

x-1

，x∈（1，+∞）．利用基本不等式即可得出最小值，進而得出a的取值范圍．
（3）由（1）可知：函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增．由于f（x）在定義域[m，n]（m＞1）上的值域是[m，n]（m≠n），可得

f(m)= 1 a - 1 m-1 =m f(n)= 1 a - 1 n-1 =n

，即方程

1

a

=

1

x-1

+x在區(qū)間[m，n]（m＞1）上由兩解，可得

1

a

=x-1+

1

x-1

+1＞2

(x-1)• 1 x-1

+1，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）∵x＞1，f′(x)=

1

(x-1)2

，∴函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
又∵f（2t-3）＞f（4-t），
∴2t-3＞4-t＞1，解得

7

3

＜t＜3．
∴實數t的取值范圍是(

7

3

，3)．
（2）f（x）≤4x，化為

1

a

≤

1

x-1

+4x．
∴f（x）≤4x對（1，+∞）上的任意x都成立?

1

a

≤[

1

x-1

+4x]min，x∈（1，+∞）．
令g（x）=4x+

1

x-1

，x∈（1，+∞）．則g（x）=4（x-1）+

1

x-1

+4≥2

4(x-1)• 1 x-1

+4=8，當且僅當x=

3

2

時取等號．
∴g（x）_min=8．
∴

1

a

≤8，又a＞0，∴a≥

1

8

．
∴實數a的取值范圍是[

1

8

，+∞)；
（3）由（1）可知：函數f（x）在（1，+∞）上單調遞增．
∵f（x）在定義域[m，n]（m＞1）上的值域是[m，n]（m≠n），∴

f(m)= 1 a - 1 m-1 =m f(n)= 1 a - 1 n-1 =n

，
∴方程

1

a

=

1

x-1

+x在區(qū)間[m，n]（m＞1）上由兩解，
∴

1

a

=x-1+

1

x-1

+1＞2

(x-1)• 1 x-1

+1=3，當且僅當x=2時取等號．
∴0＜a＜

1

3

．
∴實數a的取值范圍是(0，

1

3

)．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、基本不等式的性質、恒成立問題等基礎知識與基本方法，把恒成立問題恰當轉化是解題的關鍵，屬于難題．