Question

已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，AA₁=4，點(diǎn)M是棱D₁C₁的中點(diǎn)．
（1）試用反證法證明直線(xiàn)AB₁與BC₁是異面直線(xiàn)；
（2）求直線(xiàn)AB₁與平面DA₁M所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)直線(xiàn)AB₁與BC₁不是異面直線(xiàn)，它們都在平面α上，推出平面ABB₁A₁和平面BCC₁B₁重合，這是矛盾，
（2）求出平面的一個(gè)法向量，直線(xiàn)和平面所成的角的余弦值等于直線(xiàn)與平面的法向量夾角的正弦值．

解答：證明：（1）（反證法）假設(shè)直線(xiàn)AB₁與BC₁不是異面直線(xiàn)．（1分）
設(shè)直線(xiàn)AB₁與BC₁都在平面α上，則A、B、B₁、C₁∈α．（3分）
因此，平面ABB₁A₁、平面BCC₁B₁都與平面α有不共線(xiàn)的三個(gè)公共點(diǎn)，
即平面ABB₁A₁和平面BCC₁B₁重合（都與平面α重合）．又長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)面不重合，這是矛盾，
于是，假設(shè)不成立．（6分）
所以直線(xiàn)AB₁與BC₁是異面直線(xiàn)．（7分）
解：（2）按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為D（0，0，0）、
A（4，0，0）、B（4，2，0），C（0，2，0），A₁（4，0，4），B₁（4，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）．于是，M（0，1，4），

DM

=(0，1，4)，

DA1

=(4，0，4)，

AB1

=(0，2，4)．（9分）

設(shè)平面DA₁M的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n  • DM =0 n  • DA1 =0

，即

y+4z=0 4x+4z=0

．
取z=-1，得x=1，y=4．（11分）
所以平面DA₁M的一個(gè)法向量為

n

=(1，4，-1)．
記直線(xiàn)AB₁與平面DA₁M所成角為θ，于是，sinθ=|

n  • AB1

| n  |•| AB1 |

|=

10

15

，θ=arcsin

10

15

．（13分）
所以，直線(xiàn)AB₁與平面DA₁M所成角為θ=arcsin

10

15

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查用反證法證明2條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)、及用向量法求直線(xiàn)和平面的夾角．