Question

已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，角B所對的邊b=，且函數(shù)f（x）=2sin²x+2sinxcosx一在x=A處取得最大值．
（1）求函數(shù)f（x）的值域及周期；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列求得B=，A+C=．化簡函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x-），由正弦函數(shù)的定義域和值域可得函數(shù)
f（x）的值域為[-2，2]，且最小正周期為 ．
（2）由于sin（2A-）=1，可得 2A-=，A=，故C=．再由正弦定理求得c=，從而求得△ABC的面積為 bc•sinA 的值．
解答：解：（1）△ABC的邊b=，它的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，再由三角形的內(nèi)角和公式求得B=，A+C=．
又函數(shù)f（x）=2sin²x+2sinxcosx一=2•+sin2x-=-cos2x+sin2x=sin（2x-），
故有正弦函數(shù)的定義域和值域可得函數(shù)f（x）的值域為[-2，2]，且最小正周期為 =π．
（2）由于函數(shù)f（x）在x=A處取得最大值，故有sin（2A-）=1，∴2A-=，A=，故C=．
再由正弦定理可得 ，求得c=，∴△ABC的面積為 bc•sinA=×××sin（+）
=（ +）=．
點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域、三角函數(shù)的周期性及求法，屬于中檔題．