Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax和g（x）=2log_a（2x+4），（a＞0，a≠1）．
（I）若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象在x=x₀處的切線平行，求x₀的值；
（II）設(shè)F（x）=g（x）-f（x），當x∈[1，4]時，F(xiàn)（x）≥2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象在x=x₀處的切線平行，可用在該點處的導數(shù)相等解決；
（II）先抽象出F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+4）-log_ax=loga

(2x+4)2

x

，x∈[1，4]，由當x∈[1，4]時，F(xiàn)（x）≥2恒成立，再求得函數(shù)F（x）的最小值即可．

解答：解：（I）∵f′(x)=

1

x

logae，g′(x)=

4

2x+4

logae（3分）∵函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=x₀處的切線互相平行∴f'（x₀）=g'（x₀）（5分）∴

1

x0

logae=

4

2x0+4

logae∴x₀=2（6分）
（II）∴F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+4）-log_ax=loga

(2x+4)2

x

，x∈[1，4]
令h(x)=

(2x+4)2

x

=4x+

16

x

+16，x∈[1，4]∵h′(x)=4-

16

x2

=

4(x-2)(x+2)

x2

，x∈[1，4]∴當1≤x＜2時，h′（x）＜0，
當2＜x≤4時，h′（x）＞0．h（x）在[1，2）是單調(diào)減函數(shù)，在（2，4]是單調(diào)增函數(shù)．（9分）
∴h（x）_min=h（2）=32，∴h（x）_max=h（1）=h（4）=36
∴當0＜a＜1時，有F（x）_min=log_a36，當a＞1時，有F（x）_min=log_a32．
∵當x∈[1，4]時，F(xiàn)（x）≥2恒成立，∴F（x）_min≥2（10分）
∴滿足條件的a的值滿足下列不等式組

0＜a＜1 loga36≥2

；①，或

a＞1 loga32≥2.

②
不等式組①的解集為空集，解不等式組②得1＜a≤4

2

綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是：1＜a≤4

2

.（12分）

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義和用導數(shù)法解決恒成立問題．