Question

已知一圓與直線3x+4y-2=0相切于點(diǎn)P（2，-1），且截x軸的正半軸所得的弦的長(zhǎng)為8，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：我們可以使用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即先設(shè)圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，再根據(jù)直線3x+4y-2=0相切于點(diǎn)P（2，-1），可得圓心在過P點(diǎn)切與直線3x+4y-2=0垂直的直線上，圓心到直線3x+4y-2=0的距離等于半徑，再由截x軸的正半軸所得的弦的長(zhǎng)為8，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b，r的方程組，解方程組求出a，b，r的值，即可得到此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：設(shè)圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²
過P點(diǎn)，且垂直于直線3x+4y-2=0的直線為y+1=

4

3

（x-2），即4x-3y-11=0
圓心（a，b）在此直線上，且到點(diǎn)P的距離d=r，即：
①4a-3b-11=0，
②

|3a-4b-2|

32+42

=r
將y=0代入圓方程，得：（x-a）²+b²=r²，
解得x₁=a+

r2-b2

，x₂=a-

r2-b2

圓截x軸正半軸所得弦長(zhǎng)8=|x₁-x₂|=2

r2-b2

，即r²-b²=16 ③
①②③聯(lián)立解得：r=5，a=5，b=3
所以圓方程為（x-5）²+（y-3）²=25

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等，求圓的方程一般使用待定系數(shù)法，即先設(shè)圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，再根據(jù)題目中的其它條件構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b，r的方程組，解方程組求出a，b，r的值，求出圓的方程．