Question

已知函數(shù)f（x）=x^a（0＜a＜1）對于下列命題：
①若x＞1，則f（x）＞1；
②若0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
③若f（x₁）＞f（x₂）則x₁＞x₂；
④若0＜x₁＜x₂，則x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
⑤若0＜x₁＜x₂，則

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）．
其中正確的命題序號(hào)是

①③⑤

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)f（x）=x^a（0＜a＜1）的單調(diào)性對①②③可作出判斷，命題④，函數(shù)

f(x)

x

=

xa

x

=x^a-1，a-1＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，從而可判斷④，命題⑤，函數(shù)是凸函數(shù)，因此中點(diǎn)的函數(shù)值，比兩端點(diǎn)的函數(shù)和的一半要大，從而得到答案．

解答：解：由冪函數(shù)的定義和性質(zhì)可以知道
當(dāng)f（x）=x^a（0＜a＜1）時(shí)，則在第一象限單調(diào)遞增，所以
命題①，x＞1，則f（x）＞1成立；
命題②，根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義，對應(yīng)的自變量大，函數(shù)值大，
因此0＜x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）＞0，成立，原命題錯(cuò)誤；
命題③，根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義，函數(shù)值大，對應(yīng)的自變量也大．因此正確；
命題④，函數(shù)

f(x)

x

=

xa

x

=x^a-1，a-1＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，故原命題不成立．
命題⑤，函數(shù)是凸函數(shù)，因此中點(diǎn)的函數(shù)值，比兩端點(diǎn)的函數(shù)和的一半要大，故原命題成立．
故答案為：①③⑤

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．