20.設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間［－1，1］上的函數(shù)，且滿足條件：

（�。�f（－1）=f（1）=0；

（ⅱ）對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）證明：對任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x；

（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）=，是否滿足題設(shè)條件；

（Ⅲ）在區(qū)間［－1，1］上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f（x），且使得對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|=|u－v|.

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由.

20.

（Ⅰ）證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x∈［－1，1］時，有|f（x）|=|f（x）－f（1）|≤|x－1|=1－x，

即x－1≤f（x）≤1－x.

 

（Ⅱ）答：函數(shù)g（x）滿足題設(shè)條件.驗(yàn)證如下：g（－1）=0=g（1）.

對任意的u，v∈［－1，1］，

當(dāng)u，v∈［0，1］時，有|g（u）－g（v）|=|（1－u）－（1－v）|=|u－v|；當(dāng)u，v∈［－1，0］時，同理有|g（u）－g（v）|=|u－v|；

當(dāng)u·v<0時，不妨設(shè)u∈［－1，0），v∈（0，1]，有

|g（u）－g（v）|=|（1+u）－（1－v）|=|u+v|≤|v－u|.

所以，函數(shù)g（x）滿足題設(shè)條件.

 

（Ⅲ）答：這樣的函數(shù)不存在.理由如下：

假設(shè)存在f（x）滿足條件，則由f（－1）=f（1）=0，得

|f（1）－f（－1）|=0.                                                      �、�

由于對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|= |u－v|，

所以，|f（1）－f（－1）|=|1－（－1）|=2.                       �、�

①與②矛盾，因此假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
（1）試證明對?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是區(qū)間（-1，1）5上的平緩函數(shù)；
（2）若f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù)，試證明對?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于函數(shù)y=f（x）的判斷：
①y=f（x）是周期函數(shù)；
②y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③y=f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
④f(
12
)=0．
其中正確判斷的序號是
 
．（把你認(rèn)為正確判斷的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，給定下列三個條件：
（1）y=f（x）是偶函數(shù)；
（2）y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
（3）T=2為y=f（x）的一個周期．
如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，那么構(gòu)成的三個命題中真命題的個數(shù)有
3
3
個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2003•北京）設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否滿足題設(shè)條件；
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2003•北京）設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件，①f（-1）=f（1）=0，②對任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
（Ⅰ）證明：對任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
（Ⅱ）證明：對任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f（x）且使得
|f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
，1]
；若存在請舉一例，若不存在，請說明理由．

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