Question

4．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₃=7，S₆=63．
（1）求a_n和S_n；
（2）記數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由q=1時(shí)，則S₆=2S₃，與S₃=7，S₆=63矛盾，當(dāng)q≠1，由$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}}\\{{S}_{7}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{7}）}{1-q}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，a_n=a₁•q^n-1=2^n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2ⁿ-1；
（2）由（1）可知：由T_n=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1，采用分組求和，利用等差數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得T_n．

解答 解：（1）若q=1時(shí)，則S₆=2S₃，與S₃=7，S₆=63矛盾，
∴q≠1．…（1分）
當(dāng)q≠1，由$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}}\\{{S}_{7}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{7}）}{1-q}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，
由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知：a_n=a₁•q^n-1=2^n-1，
則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2ⁿ-1；…（10分）
（2）數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，T_n=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1，
=2+2²+…+2ⁿ-n，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n，
=2ⁿ⁺¹-n-2，
數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=2ⁿ⁺¹-n-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查分組求和的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．