Question

已知雙曲線E：

x2

m

-

y2

5

=1．
（1）若m=4，求雙曲線E的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；
（2）若雙曲線E的離心率e∈(

6

2

，

2

)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）m=4時(shí)，雙曲線方程轉(zhuǎn)化為：

x2

4

-

y2

5

=1，先求出a，b，c，由此能求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程．
（2）由雙曲線E：

x2

m

-

y2

5

=1，推導(dǎo)出e²=1+

5

m

，再由e∈(

6

2

，

2

)，能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵雙曲線E：

x2

m

-

y2

5

=1．
∴m=4時(shí)，雙曲線方程轉(zhuǎn)化為：

x2

4

-

y2

5

=1，
∴a=2，b=

5

，c=

4+5

=3，
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A₁（-2，0），A₂（2，0），
雙曲線的漸近線方程為：y=±

5

2

x．
（2）∵雙曲線E：

x2

m

-

y2

5

=1，
∴e2=

c2

a2

=

m+5

m

=1+

5

m

，
∵e∈(

6

2

，

2

)，
∴

3

2

＜1+

5

m

＜2，
解得5＜m＜10，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（5，10）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程的求法，考查參數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是中檔題．