Question

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)記為，
（1）設(shè)函數(shù),求的極大值與極小值；
(2）試求關(guān)于的方程在區(qū)間上的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，_極大=；當(dāng)時(shí)，_極小=0．；當(dāng)時(shí)，_極大=；無(wú)極小值
（2）對(duì)于任意給定的正整數(shù)，方程只有唯一實(shí)根，且總在區(qū)間內(nèi)，所以原方程在區(qū)間上有唯一實(shí)根

試題分析：解：（1）令，則
，…3分
令，得，且，
當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，隨的變化，與的變化如下：

		0		0
				極大值		極小值

所以當(dāng)時(shí)，_極大=；當(dāng)時(shí)，_極小=0．   4分
當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，隨的變化，與的變化如下：

		0		0
				極大值

所以當(dāng)時(shí)，_極大=；無(wú)極小值．  8分
（2），即，
所以方程為，   9分
，   10分
又，由二項(xiàng)式定理知:
故對(duì)于，有，   13分  
綜上，對(duì)于任意給定的正整數(shù)，方程只有唯一實(shí)根，且總在區(qū)間內(nèi)，所以原方程在區(qū)間上有唯一實(shí)根．  14分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了函數(shù)的圖像與方程根的問題的求解，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定單調(diào)性和極值，得到，屬于基礎(chǔ)題。