已知曲線C:f(x)=x3
(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義求f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x);
(2)求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程.
分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x);
(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.
解答:解:(1)設(shè)函數(shù)f(x)在(x,x+△x)上的平均變化率為
△y
△x
=
f(x+△x)-f(x)
△x
=
(x+△x)3-x3
△x
=
x3+3x2•△x+3x•(△x)2+(△x)3-x3
△x

3x2+3x•△x+(△x)2,
∴f'(x)=
lim
△x→0
(3x2+3x•△x+(△x)2)
=3x2
(2)∵f'(x)=3x2,
∴f'(1)=3,f(1)=1,
∴曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義,以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)和瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系求導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:f(x)=3x2-1,C上的兩點(diǎn)A,An的橫坐標(biāo)分別為2與an(n=1,2,3,…),a1=4,數(shù)列{xn}滿足xn+1=
t
3
[f(xn-1)+1]+1
(t>0且t≠
1
2
,t≠1)
、設(shè)區(qū)間Dn=[1,an](an>1),當(dāng)x∈Dn時(shí),曲線C上存在點(diǎn)pn(xn,f(xn)),使得點(diǎn)pn處的切線與AAn平行,
(I)建立xn與an的關(guān)系式;
(II)證明:{logt(xn-1)+1}是等比數(shù)列;
(III)當(dāng)Dn+1?Dn對(duì)一切n∈N+恒成立時(shí),求t的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:f(x)=x3+1,則與直線y=-
1
3
x-4
垂直的曲線C的切線方程為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:f(x)=x+
ax
(a>0),直線l:y=x,在曲線C上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作直線l和y軸的垂線,垂足分別為A,B.再過點(diǎn)P作曲線C的切線,分別與直線l和y軸相交于點(diǎn)M,N,O是坐標(biāo)原點(diǎn).則△OMN與△ABP的面積之比為
8
8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•溫州二模)已知曲線C:f(x)=x3-ax+a,
(Ⅰ)若f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)過C外一點(diǎn)A(1,0)引C的兩條切線,若它們的傾斜角互補(bǔ),求a的值.

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