Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD．
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，BD⊥平面PAC？試證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)a=4時(shí)，求D點(diǎn)到平面PBC的距離．
（3）當(dāng)a=4時(shí)，求直線PD與平面PBC所成的角．

Answer 1

解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD、AB、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，BD⊥AC，又PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．故a=2．
（2）當(dāng)a=4時(shí)，D（4，0，0）、B（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2），
則=（0，2，-2），=（4，0，0），=（0，2，0）．
設(shè)平面PBC的法向量=（x，y，z），則•=0，•=0，
即（x，y，z）•（0，2，-2）=0，（x，y，z）•（4，0，0）=0，
得x=0，y=z，不妨取y=1，故=（0，1，1）．
則D點(diǎn)到平面PBC的距離d==．
（3）由（2）知，=（-4，0，2），
則cos＜，＞==＞0，
設(shè)＜，＞=α，直線PD與平面PBC所成的角為θ，
則sinθ=sin（-α）=cosα=．
所以直線PD與平面PBC所成的角為arcsin．
分析：（1）由兩組線線垂直即可判定線面垂直，而已有BD⊥PA，所以只需BD⊥AC則可判定BD⊥平面PAC，故a=2即可．
（2）先由平面PBC中的、確定它的一個(gè)法向量，然后求出在法向量上的投影長，即D點(diǎn)到平面PBC的距離．
（3）先由與的夾角確定它們所在直線的夾角，則該角的余角即為直線PD與平面PBC所成的角．
點(diǎn)評：本題主要考查向量法解決立體幾何中的距離及夾角問題．