Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
（1）求f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值；
（2）若不等式f²（x）-2m•f（x）+m²-4＜0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的最大值求得函數(shù)f（x）取得最大值．
（2）由題意可得m-2＜f（x）＜2+m恒成立，再根據(jù)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求得 f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[1，3]，可得$\left\{\begin{array}{l}{m-2＜1}\\{m+2＞3}\end{array}\right.$，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，
即x=kπ+$\frac{5π}{12}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2+1=3．
（2）不等式f²（x）-2m•f（x）+m²-4＜0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
即[f（x）-m]²＜4，即-2＜f（x）-m＜2，即 m-2＜f（x）＜2+m恒成立．
再根據(jù)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[1，3]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2＜1}\\{m+2＞3}\end{array}\right.$，求得1＜m＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的最大值，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．