已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)(1，
q
2
)，且離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)G(
1
8
，0)，求k的取值范圍．
（Ⅰ）由題意橢圓的離心率∴e=
c
a
=
1
2
∴a=2c∴b2=a2-c2=3c2
∴橢圓方程為
x2
4c2
+
y2
3c2
=1又點(diǎn)(1，
3
2
)在橢圓上∴
1
4c2
+
(
3
2
)2
3c2
=1∴c2=1
∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）由
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m

消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0…（6分）
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜4k2+3…（8分）
又x1+x2=-
8km
3+4k2
∴MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-
4km
3+4k2
，
3m
3+4k2
)…（9分）
設(shè)MN的垂直平分線l'方程：y=-
1
k
(x-
1
8
)
∵p在l'上∴
3m
3+4k2
=-
1
k
(-
4km
3+4k2
-
1
8
)即4k2+8km+3=0
∴m=-
1
8k
(4k2+3)…（11分）
將上式代入得
(4k2+3)2
64k2
＜4k2+3
∴k2＞
1
20

即k＞
5
10
或k＜-
5
10
，∴k的取值范圍為(-∞，-
5
10
)∪(
5
10
，+∞)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，a+b=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m-k為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

直線l與雙曲線
x2
2
-y2=1的同一支相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)在直線y=2x上，則直線AB的斜率為（　�。�
A．4B．2C．
1
2
D．
1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

過(guò)點(diǎn)A（0，2）可以作 ______條直線與雙曲線x2-
y2
4
=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)F內(nèi)分成了3：1的兩段．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過(guò)點(diǎn)C（-1，0）的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B，且
AC
=2
CB
，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求直線l和橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若橢圓E1：
x2
a21
+
y2
b21
=1和橢圓E2：
x2
a22
+
y2
b22
=1滿(mǎn)足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m＞0)，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓相似，m是相似比．
（Ⅰ）求過(guò)（2，
6
)且與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1相似的橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的一條射線l分別與（Ⅰ）中的兩橢圓交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在線段OB上）．
①若P是線段AB上的一點(diǎn)，若|OA|，|OP|，|OB|成等比數(shù)列，求P點(diǎn)的軌跡方程；
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知兩點(diǎn)F′（-2，0），F(xiàn)（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足|
F′F
||
FP
|+
F′F
•
F′P
=0．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l與軌跡C和⊙F：（x-2）2+y2=1交于四點(diǎn)，自下而上依次記這四點(diǎn)為A、B、C、D，求
AB
•
CD
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)拋物線y2=2px焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABO為（　�。�
A．銳角三角形B．直角三角形C．不確定D．鈍角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（200個(gè)•陜西）已知橢圓C：
x2
個(gè)2
+
y2
b2
=1（個(gè)＞b＞0）的離心率為
左
3
，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于個(gè)、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為
3
2
，求△個(gè)OB面積的最大值．

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