Question

【題目】設(shè)m為整數(shù)，.整數(shù)數(shù)列滿足：不全為零，且對(duì)任意正整數(shù)n，均有.證明：若存在整數(shù)r、s(r>s≥2)使得，則.

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

首先假設(shè)互素，根據(jù)題目所給遞推關(guān)系得到，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得對(duì)任意整數(shù)n≥3，有成立，通過(guò)證明成立，得到，從而證得結(jié)論成立.

不妨設(shè)互素(否則，若，則與互素，并且用代替條件與結(jié)論均不改變).

由數(shù)列遞推關(guān)系知①

以下證明：對(duì)任意整數(shù)n≥3，有②

事實(shí)上，當(dāng)n=3時(shí)②顯然成立.假設(shè)n=k時(shí)②成立(其中k為某個(gè)大于2的整數(shù))，注意到①，有，結(jié)合歸納假設(shè)知

，

即n=k+1時(shí)②也成立.因此②對(duì)任意整數(shù)n≥3均成立.

注意，當(dāng)時(shí)，②對(duì)n=2也成立.

設(shè)整數(shù)r、s(r>s≥2)，滿足.

若，由②對(duì)n≥2均成立，可知

，

即，即③

若，則，故r>s≥3.

此時(shí)由于②對(duì)n≥3均成立，故類似可知③仍成立.

再證明a2，m互素：

事實(shí)上，假如a2與m存在一個(gè)公共素因子p，則由①得p為的公因子，而互素，故，這與矛盾.

因此，由③得.又r>s，所以.