Question

【題目】如圖所示，三棱錐V﹣ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2 ，VC=1，線段AB的中點(diǎn)為D．

（1）求證：平面VCD⊥平面ABC；
（2）求三棱錐V﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示：

∵VA=VB=2，AB=2 ，D為AB的中點(diǎn)，

∴VD⊥AB，VD= =1．

同理CD⊥AB，CD=1，CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．

又∵AB平面ABC，∴平面VCD⊥平面ABC．

（2）解：∵AB⊥平面VCD，

∴三棱錐V﹣ABC的體積等于三棱錐A﹣VCD與B﹣VCD的體積之和．

∵VC=VD=CD=1，

∴△VCD的面積為：

= = ，

∴三棱錐V﹣ABC的體積為：

VV﹣ABC= = = ．

【解析】1、由已知條件可得VD⊥AB且VD=1，同理可得CD=1由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD再由面面垂直的判定定理可得平面VCD⊥平面ABC。
2、由題意可得三棱錐V﹣ABC的體積等于三棱錐A﹣VCD與B﹣VCD的體積之和所以VV﹣ABC= × S × A B。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平面與平面垂直的判定，掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直即可以解答此題．